3. Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 карандаша, Миша – блокнот и 6 карандашей, Вася – блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот?

Решение: Пусть блокнот стоит \(b\), а карандаш \(k\). Тогда: Алик: \(2b + 4k\) Миша: \(b + 6k\) Вася: \(b + 3k\) Так как суммы образуют геометрическую прогрессию, то: \(\frac{b+6k}{2b+4k} = \frac{b+3k}{b+6k}\) \((b+6k)^2 = (2b+4k)(b+3k)\) \(b^2 + 12bk + 36k^2 = 2b^2 + 6bk + 4bk + 12k^2\) \(b^2 + 12bk + 36k^2 = 2b^2 + 10bk + 12k^2\) \(0 = b^2 - 2bk - 24k^2\) Разделим на \(k^2\): \((\frac{b}{k})^2 - 2(\frac{b}{k}) - 24 = 0\) Пусть \(x = \frac{b}{k}\). Тогда: \(x^2 - 2x - 24 = 0\) \(D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100\) \(x_1 = \frac{2 + 10}{2} = 6\) \(x_2 = \frac{2 - 10}{2} = -4\) Так как цена не может быть отрицательной, то \(x = 6\), то есть \(\frac{b}{k} = 6\), значит, \(b = 6k\). Тогда суммы равны: Алик: \(2(6k) + 4k = 16k\) Миша: \(6k + 6k = 12k\) Вася: \(6k + 3k = 9k\) Проверим геометрическую прогрессию: \(\frac{12k}{16k} = \frac{3}{4}\) и \(\frac{9k}{12k} = \frac{3}{4}\). Все верно. Карандаш трехкопеечный, то есть \(k = 3\) копейки. Значит, блокнот стоит \(b = 6 * 3 = 18\) копеек. Ответ: 18 копеек.