575 Катеты прямоугольного треугольника относятся а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на ко потенуза делится высотой, проведённой из вершин угла.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C, AB = c = 50 мм - гипотенуза, катеты a и b, высота CH = h, AH = bc, HB = ac.

Катеты относятся как a:b, пусть a = kx, b = ky.

$$a^2 + b^2 = c^2$$

$$(kx)^2 + (ky)^2 = 50^2$$

$$k^2(x^2 + y^2) = 2500$$

$$\frac{a}{b}= \frac{x}{y}$$ (отношение катетов)

Пусть $$\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$$, значит a = 3k, b = 4k.

$$(3k)^2 + (4k)^2 = 50^2$$

$$9k^2 + 16k^2 = 2500$$

$$25k^2 = 2500$$

$$k^2 = 100$$

$$k = 10$$

Тогда a = 30 мм, b = 40 мм.

$$a_c = \frac{a^2}{c} = \frac{30^2}{50} = \frac{900}{50} = 18$$ мм.

$$b_c = \frac{b^2}{c} = \frac{40^2}{50} = \frac{1600}{50} = 32$$ мм.

Ответ: Отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, равны: ac = 18 мм, bc = 32 мм.