568 Докажите, что четырёхугольник - ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

Для доказательства используем свойства ромба и четырехугольников, образованных серединами сторон.

а) Прямоугольник:

Пусть ABCD - прямоугольник, M, N, K, L - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Тогда MNKL - ромб. Докажем это.

1. MN - средняя линия треугольника ABC, следовательно, $$MN = \frac{1}{2}AC$$.
2. KL - средняя линия треугольника ADC, следовательно, $$KL = \frac{1}{2}AC$$.
3. NK - средняя линия треугольника BCD, следовательно, $$NK = \frac{1}{2}BD$$.
4. ML - средняя линия треугольника ABD, следовательно, $$ML = \frac{1}{2}BD$$.
5. Так как в прямоугольнике диагонали равны, то AC = BD.
6. Следовательно, MN = KL = NK = ML.
7. Таким образом, MNKL - четырехугольник, у которого все стороны равны, то есть ромб.

б) Равнобедренная трапеция:

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AB = CD, и M, N, K, L - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Докажем, что MNKL - ромб.

1. MN - средняя линия трапеции, соединяет середины боковых сторон, значит, параллельна основаниям AD и BC.
2. Аналогично, LK - средняя линия трапеции, и LK || AD и BC.
3. Таким образом, MN || LK, и MNKL - параллелограмм.
4. В равнобедренной трапеции диагонали равны: AC = BD.
5. MN = (1/2)AC и LK = (1/2)AC.
6. NK = (1/2)BD и ML = (1/2)BD.
7. Так как AC = BD, то MN = LK = NK = ML, и MNKL - ромб.

Ответ: Доказано, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника или равнобедренной трапеции, является ромбом.