574. Докажите, что: а) $$h = \frac{ab}{c}$$; б) $$\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$$.

Доказательство: а) Докажем, что $$h = \frac{ab}{c}$$. Известно, что площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: 1. Как половину произведения катетов: $$S = \frac{1}{2}ab$$. 2. Как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $$S = \frac{1}{2}ch$$. Приравняем оба выражения для площади: $$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$$ Умножим обе части на 2: $$ab = ch$$ Выразим высоту h: $$h = \frac{ab}{c}$$ Что и требовалось доказать. б) Докажем, что $$\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть CH - высота, проведенная из вершины C к гипотенузе AB. Обозначим AH = $$b_c$$ и BH = $$a_c$$. Известно, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. Тогда: $${a^2 = c \cdot a_c}$$ $${b^2 = c \cdot b_c}$$ Разделим первое равенство на второе: $$\frac{a^2}{b^2} = \frac{c \cdot a_c}{c \cdot b_c}$$ Сократим c: $$\frac{a^2}{b^2} = \frac{a_c}{b_c}$$ Преобразуем пропорцию: $$\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$$ Что и требовалось доказать.