8. Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч?

Ответ: Собственная скорость катера 14 км/ч.

1. Пусть x - собственная скорость катера.
2. Скорость катера по течению: x + 2 км/ч. Скорость катера против течения: x - 2 км/ч.
3. Время по течению: 40 / (x + 2) часов. Время против течения: 6 / (x - 2) часов.
4. Общее время в пути: 3 часа. Составим уравнение: \[\frac{40}{x + 2} + \frac{6}{x - 2} = 3\]
5. Решаем уравнение: \[\frac{40(x - 2) + 6(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 3\] \[\frac{40x - 80 + 6x + 12}{x^2 - 4} = 3\] \[\frac{46x - 68}{x^2 - 4} = 3\] \[46x - 68 = 3(x^2 - 4)\] \[46x - 68 = 3x^2 - 12\] \[3x^2 - 46x + 56 = 0\]
6. Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 2116 - 672 = 1444\] \[\sqrt{D} = 38\] \[x_1 = \frac{-(-46) + 38}{2 \cdot 3} = \frac{46 + 38}{6} = \frac{84}{6} = 14\] \[x_2 = \frac{-(-46) - 38}{2 \cdot 3} = \frac{46 - 38}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\]
7. Второй корень не подходит, так как скорость катера не может быть меньше скорости течения, поэтому x = 14 км/ч.

Ответ: Собственная скорость катера 14 км/ч.