Катер плыл 40 минут по течению реки и 1ч 30 минут против течения. За все это время он проплыл 41,4 км. Чему равна скорость течения реки, если скорость катера по течению на 20% больше его скорости против течения?

Решение:

Пусть \( v_k \) — собственная скорость катера (км/ч), а \( v_t \) — скорость течения реки (км/ч).

1. Скорость катера по течению: \( v_{по} = v_k + v_t \)
2. Скорость катера против течения: \( v_{пр} = v_k - v_t \)
3. Время движения по течению: 40 минут = \( \frac{40}{60} \) ч = \( \frac{2}{3} \) ч.
4. Время движения против течения: 1 час 30 минут = 1,5 часа = \( \frac{3}{2} \) ч.
5. Общее расстояние: \( 41,4 \) км.
6. Условие: скорость катера по течению на 20% больше скорости против течения: \( v_k + v_t = 1,2(v_k - v_t) \)
7. Раскроем скобки: \( v_k + v_t = 1,2v_k - 1,2v_t \)
8. Перенесём члены с \( v_k \) и \( v_t \): \( 1,2v_t + v_t = 1,2v_k - v_k \)
9. \( 2,2v_t = 0,2v_k \)
10. Выразим \( v_k \) через \( v_t \): \( v_k = \frac{2,2}{0,2}v_t = 11v_t \)
11. Составим уравнение для общего расстояния:
• Расстояние по течению: \( S_{по} = v_{по} \cdot t_{по} = (v_k + v_t) \cdot \frac{2}{3} \)
• Расстояние против течения: \( S_{пр} = v_{пр} \cdot t_{пр} = (v_k - v_t) \cdot \frac{3}{2} \)
• Общее расстояние: \( (v_k + v_t) \cdot \frac{2}{3} + (v_k - v_t) \cdot \frac{3}{2} = 41,4 \)
• Подставим \( v_k = 11v_t \):
• \( (11v_t + v_t) \cdot \frac{2}{3} + (11v_t - v_t) \cdot \frac{3}{2} = 41,4 \)
• \( 12v_t \cdot \frac{2}{3} + 10v_t \cdot \frac{3}{2} = 41,4 \)
• \( 8v_t + 15v_t = 41,4 \)
• \( 23v_t = 41,4 \)
• \( v_t = \frac{41,4}{23} \)
• \( v_t = 1,8 \) км/ч

Ответ: Скорость течения реки равна 1,8 км/ч.