278 К гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС с угло 15° проведены медиана СМ и высота СН. Найдите АВ, есл CH = 4.

Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ∠B = 15°, CH - высота, CM - медиана, CH = 4.

Найти: AB.

Решение:

1. Так как CM - медиана, проведённая из вершины прямого угла, то CM = AM = MB = 0.5 * AB.
2. Рассмотрим ΔCHB: ∠CHB = 90°, ∠B = 15°, следовательно, ∠HCB = 90° - 15° = 75°.
3. Так как ∠B = 15°, то ∠A = 90° - 15° = 75°.
4. В ΔAMC: AM = CM, следовательно, ∠MAC = ∠MCA = 75°. Тогда ∠CMB = ∠MAC + ∠MCA = 75° + 75° = 150° (как внешний угол ΔAMC).
5. Рассмотрим ΔCMB: CM = MB, следовательно, ∠MCB = ∠MBC = (180° - 150°) / 2 = 15°.
6. Тогда ∠HCA = ∠BCA - ∠HCB = 90° - 75° = 15°.
7. Рассмотрим ΔCHA: CH = 4, ∠HCA = 15°, следовательно, AC = CH / cos(∠HCA) = 4 / cos(75°).
8. В ΔABC: sin(∠B) = AC / AB, следовательно, AB = AC / sin(∠B) = (4 / cos(75°)) / sin(15°). Так как sin(15°) = cos(75°), то AB = 4 / (sin(15°))^2.
9. Используя формулу синуса половинного угла: sin(15°) = √((1 - cos(30°)) / 2) = √((1 - √3/2) / 2) = √((2 - √3) / 4) = (√(2 - √3)) / 2. Тогда AB = 4 / (((√(2 - √3)) / 2)^2) = 4 / ((2 - √3) / 4) = 16 / (2 - √3) = 16 * (2 + √3) / ((2 - √3) * (2 + √3)) = 16 * (2 + √3) / (4 - 3) = 16 * (2 + √3) = 32 + 16√3.
10. ∠HCM = 75 - 15 = 60градусов. Δ СНМ - прямоугольный, СН = 4, СМ = 4/cos(60) = 8. Тогда АВ = 2 * СМ = 16.

Ответ: 16.