4. Известно, что \(KA\) является диаметром окружности с центром в точке \(O\), точка \(B\) лежит на окружности. Найдите \(\angle KBO\), если известно, что градусная мера дуги \(AB\) равна \(83^\circ\).

Так как \(KA\) – диаметр, то \(KA\) проходит через центр окружности \(O\). Значит, \(OA = OB = r\), где \(r\) – радиус окружности. Следовательно, треугольник \(\triangle AOB\) – равнобедренный, и углы при основании \(OA\) равны: \(\angle OAB = \angle OBA\). Центральный угол \(\angle AOB\) опирается на дугу \(AB\), поэтому \(\angle AOB = 83^\circ\). В треугольнике \(\triangle AOB\) сумма углов равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ\). Так как \(\angle OAB = \angle OBA\), то \(2 \cdot \angle OBA = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 83^\circ = 97^\circ\). Следовательно, \(\angle OBA = \frac{97^\circ}{2} = 48.5^\circ\). Теперь рассмотрим угол \(\angle KBO\). Так как \(\angle KBA\) развернутый, а сумма смежных углов равна \(180^\circ\), то \(\angle KBO = 90^\circ - \angle OBA\). Так как \(KA\) - диаметр, а точка B лежит на окружности, то угол \(\angle KBA = 90^\circ\) (угол, опирающийся на диаметр – прямой). Следовательно, \(\angle KBO = \angle KBA - \angle OBA = 90^\circ - 48.5^\circ = 41.5^\circ\). Ответ: \(\angle KBO = 41.5^\circ\)