553. Известно, что $$a$$, $$b$$, $$\sqrt{a}$$, $$\sqrt{b}$$ рациональные числа. Докажите, что рациональным является: a) $$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})$$

Чтобы доказать, что данное выражение рационально, необходимо упростить его и показать, что в результате не останется иррациональных членов.

a) $$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(2\sqrt{a} + 3\sqrt{b}) = 2\sqrt{a}\sqrt{a} + 3\sqrt{a}\sqrt{b} - 2\sqrt{b}\sqrt{a} - 3\sqrt{b}\sqrt{b} = 2a + 3\sqrt{ab} - 2\sqrt{ab} - 3b = 2a + \sqrt{ab} - 3b$$

Поскольку по условию $$\sqrt{a}$$ и $$\sqrt{b}$$ рациональные числа, то $$a$$ и $$b$$ также рациональные числа. Однако, если $$\sqrt{ab}$$ не является рациональным числом, то все выражение не будет рациональным.

Пример 1: Пусть $$a = 4$$ и $$b = 9$$, тогда $$\sqrt{a} = 2$$ и $$\sqrt{b} = 3$$ - рациональные числа, $$2a + \sqrt{ab} - 3b = 2(4) + \sqrt{4 \cdot 9} - 3(9) = 8 + 6 - 27 = -13$$ - рациональное число.

Пример 2: Пусть $$a = 2$$ и $$b = 3$$, тогда $$\sqrt{a} = \sqrt{2}$$ и $$\sqrt{b} = \sqrt{3}$$ - иррациональные числа, что противоречит условию.

Ответ: Если $$\sqrt{ab}$$ - рациональное число, то выражение $$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(2\sqrt{a} + 3\sqrt{b})$$ является рациональным числом. В противном случае - нет.