∫ \(\frac{x^3+1}{x^2}\) dx

Решение:

Разделим числитель на знаменатель, чтобы упростить подынтегральную функцию, а затем проинтегрируем каждое слагаемое отдельно.

1. Разделим \( x^3+1 \) на \( x^2 \): \( \frac{x^3+1}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x + x^{-2} \)
2. Теперь проинтегрируем полученное выражение: \( \int \left(x + x^{-2}\right) dx = \int x dx + \int x^{-2} dx \)
3. Интегрируем каждое слагаемое: \( \int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \)
4. \( \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_2 = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2 \)
5. Объединяем результаты и константы: \( = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + C \)

Ответ: \( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + C \)