∫ (2x + 1)⁴ dx

Решение:

Для решения этого интеграла используем метод замены переменной. Пусть \( u = 2x + 1 \). Тогда \( du = 2 dx \), что означает \( dx = \frac{1}{2} du \).

1. Подставляем замену: \( \int (2x+1)^4 dx = \int u^4 \left(\frac{1}{2} du\right) \)
2. Выносим константу \( \frac{1}{2} \): \( = \frac{1}{2} \int u^4 du \)
3. Интегрируем \( u^4 \) по степенному закону: \( \frac{1}{2} \left(\frac{u^{4+1}}{4+1}\right) + C = \frac{1}{2} \left(\frac{u^5}{5}\right) + C \)
4. Упрощаем: \( = \frac{1}{10} u^5 + C \)
5. Возвращаемся к исходной переменной, подставляя \( u = 2x + 1 \): \( = \frac{1}{10} (2x+1)^5 + C \)

Ответ: \( \frac{1}{10} (2x+1)^5 + C \)