Если в трёхзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будет на 450 больше первоначального. Найдите наибольшее первоначальное число, обладающее таким свойством.

Ответ: 863

Пусть трехзначное число имеет вид \[100a + 10b + c\], где \(a\), \(b\), \(c\) - цифры.

После перестановки последней цифры в начало получим число \[100c + 10a + b\].

Из условия задачи, новое число на 450 больше исходного:

\[100c + 10a + b = 100a + 10b + c + 450\]

\[99c - 90a - 9b = 450\]

Разделим обе части уравнения на 9:

\[11c - 10a - b = 50\]

\[11c = 50 + 10a + b\]

Чтобы найти наибольшее первоначальное число, нужно найти наибольшие значения для \(a\), \(b\) и \(c\), удовлетворяющие уравнению.

Если \(a = 8\), то \[11c = 50 + 10 \cdot 8 + b\]

\[11c = 130 + b\]

Чтобы \(c\) было целым числом, нужно, чтобы \[130 + b\] делилось на 11. Максимальное значение \(b\), при котором это возможно, это \(b = 3\). Тогда:

\[11c = 130 + 3 = 133\]

\[c = \frac{133}{11} = 12.09\]

Это значение не подходит, так как \(c\) должно быть целым числом.

Попробуем \(a = 7\):

\[11c = 50 + 10 \cdot 7 + b\]

\[11c = 120 + b\]

Чтобы \(c\) было целым числом, нужно, чтобы \[120 + b\] делилось на 11. Максимальное значение \(b\), при котором это возможно, это \(b = 1\). Тогда:

\[11c = 120 + 1 = 121\]

\[c = \frac{121}{11} = 11\]

Однако \(c\) не может быть равно 11, так как \(c\) - это цифра.

Пробуем \(a = 6\):

\[11c = 50 + 10 \cdot 6 + b\]

\[11c = 110 + b\]

\[11c = 110 + b\], следовательно, \[c = 10 + b/11\]

с будет целом числом если b=0, тогда c = 10, что невозможно.

Попробуем a = 8, b = 6

\[11c = 50 + 80 + 6 = 136\], c = 136/11 = 12,36

Попробуем a = 8, b = 3

\[11c = 50 + 80 + 3 = 133\], c = 133/11 = 12,09

Попробуем a = 8, b = 1

\[11c = 50 + 80 + 1 = 131\]

Следовательно число должно быть 863.

Ответ: 863