Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ними — 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Дано:

Треугольник ABC, \( a = 4 \text{ см} \), \( b = 8 \text{ см} \), \( \gamma = 60^{\circ} \).

Найти:

\( c \) — третья сторона, \( S \) — площадь.

Решение:

1. Найдем третью сторону \( c \) по теореме косинусов: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \).
2. Подставим значения: \( c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cos 60^{\circ} \)
3. \( c^2 = 16 + 64 - 64 \cdot \frac{1}{2} = 80 - 32 = 48 \)
4. \( c = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \).
5. Найдем площадь треугольника по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \).
6. Подставим значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \sin 60^{\circ} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2 \).

Ответ: третья сторона равна \( 4\sqrt{3} \text{ см} \), площадь равна \( 8\sqrt{3} \text{ см}^2 \).