Два угла треугольника равны 30° и 135°, а сторона, лежащая против меньшего из них, равна 4 см. Найдите сторону треугольника, лежащую против большего из данных углов.

Дано:

Треугольник ABC, \( \alpha = 30^{\circ} \), \( \beta = 135^{\circ} \), \( a = 4 \text{ см} \).

Найти:

\( b \) — сторона, лежащая против угла \( \beta \).

Решение:

1. Найдем третий угол \( \gamma \) треугольника: \( \gamma = 180^{\circ} - \alpha - \beta = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 135^{\circ} = 15^{\circ} \).
2. Угол \( 135^{\circ} \) больше, чем \( 30^{\circ} \), значит, сторона, лежащая против \( 135^{\circ} \) (угол \( \beta \)), будет больше стороны, лежащей против \( 30^{\circ} \) (угол \( \alpha \)).
3. Применим теорему синусов: \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \).
4. Подставим значения: \( \frac{4}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 135^{\circ}} \).
5. \( \frac{4}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{2}/2} \)
6. \( 8 = \frac{2b}{\sqrt{2}} \)
7. \( b = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см} \).

Ответ: сторона, лежащая против большего из данных углов, равна \( 4\sqrt{2} \text{ см} \).