Докажите следующие утверждения. а) Если pq + rs делится на p + r, то ps + qr также делится на р+ r (p, q, r, s ∈ Z). б) Если число х - 1/x целое, то число х³ - 1/x³ целое.

Пошаговое решение:

• а) Доказательство первого утверждения:

Пусть pq + rs делится на p + r, то есть (pq + rs) = k(p + r), где k - целое число.

Нужно доказать, что ps + qr также делится на p + r.

Рассмотрим выражение (pq + rs) + (ps + qr) = pq + ps + qr + rs = p(q + s) + r(q + s) = (p + r)(q + s).

Так как (p + r)(q + s) делится на (p + r), то (pq + rs) + (ps + qr) делится на (p + r).

Мы знаем, что (pq + rs) делится на (p + r), следовательно, (ps + qr) тоже должно делиться на (p + r), чтобы сумма делилась на (p + r).

• б) Доказательство второго утверждения:

Дано, что x - \(\frac{1}{x}\) = n, где n - целое число.

Нужно доказать, что x³ - \(\frac{1}{x^3}\) тоже целое число.

Возведем обе части уравнения x - \(\frac{1}{x}\) = n в куб:

\[ (x - \frac{1}{x})^3 = n^3 \]

\[ x^3 - 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3x \cdot \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} = n^3 \]

\[ x^3 - 3x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3} = n^3 \]

\[ x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(x - \frac{1}{x}) = n^3 \]

Подставим x - \(\frac{1}{x}\) = n:

\[ x^3 - \frac{1}{x^3} - 3n = n^3 \]

\[ x^3 - \frac{1}{x^3} = n^3 + 3n \]

Так как n - целое число, то n³ + 3n тоже целое число.

Следовательно, x³ - \(\frac{1}{x^3}\) целое число.