Докажите, что 1³ + 2³ + 3³ + ... + 8³ + 9³ + 10³ делится на 11.

Пошаговое решение:

Вычислим сумму кубов первых десяти натуральных чисел:

\[ S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3 + 10^3 \]

\[ S = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1000 \]

\[ S = 3025 \]

Проверим, делится ли 3025 на 11:

\[ 3025 : 11 = 275 \]

Так как 3025 делится на 11 без остатка, утверждение доказано.

Ответ: Сумма 1³ + 2³ + 3³ + ... + 8³ + 9³ + 10³ делится на 11, так как 3025 / 11 = 275.