. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой у = -x²-6x – 11, расположены в нижней полуплоскости.

Пошаговое решение:

Рассмотрим функцию \( y = -x^2 - 6x - 11 \).

Выделим полный квадрат:

\( y = -(x^2 + 6x + 11) = -(x^2 + 6x + 9 + 2) = -((x + 3)^2 + 2) = -(x + 3)^2 - 2 \)

Так как \( (x + 3)^2 \ge 0 \) для любого x, то \( -(x + 3)^2 \le 0 \).

Следовательно, \( -(x + 3)^2 - 2 \le -2 \) для любого x.

Это означает, что значение функции всегда меньше или равно -2, то есть всегда отрицательно.

Таким образом, все точки графика расположены в нижней полуплоскости.