1139. (Задача-исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученной разности как на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго? 1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи. 2) Составьте систему уравнений и решите её. 3) Проверьте правильность полученного ответа.

Решение: Пусть $$x$$ — число, на которое нужно уменьшить 100. Тогда разность равна $$100 - x$$. Пусть $$a$$ — частное от деления $$100-x$$ на 5, а $$b$$ — частное от деления $$100-x$$ на 7. По условию, в обоих случаях остаток равен 1, и $$a = b + 2$$. Тогда мы можем записать следующие уравнения: $$100 - x = 5a + 1$$ и $$100 - x = 7b + 1$$ Подставим $$a = b + 2$$ в первое уравнение: $$100 - x = 5(b + 2) + 1$$ $$100 - x = 5b + 10 + 1$$ $$100 - x = 5b + 11$$ Теперь у нас есть два уравнения: $$100 - x = 5b + 11$$ и $$100 - x = 7b + 1$$ Приравняем правые части этих уравнений: $$5b + 11 = 7b + 1$$ $$2b = 10$$ $$b = 5$$ Теперь найдем $$a$$: $$a = b + 2 = 5 + 2 = 7$$ Подставим значение $$b$$ во второе уравнение, чтобы найти $$x$$: $$100 - x = 7(5) + 1$$ $$100 - x = 35 + 1$$ $$100 - x = 36$$ $$x = 100 - 36$$ $$x = 64$$ Проверка: $$100 - 64 = 36$$ $$36 \div 5 = 7$$ (остаток 1) $$36 \div 7 = 5$$ (остаток 1) $$7 - 5 = 2$$ Ответ: Число 100 нужно уменьшить на 64.