6. Докажите, что в прямоугольном треугольнике KLM (ZL = 90°) sin²∠K + cos²∠K = 1.

Ответ: Доказано, sin²∠K + cos²∠K = 1

Решение:

В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом ∠L = 90°:

Обозначим стороны треугольника: KL = m, LM = k, KM = l.

Тогда:

• \(\sin(\angle K) = \frac{LM}{KM} = \frac{k}{l}\)
• \(\cos(\angle K) = \frac{KL}{KM} = \frac{m}{l}\)

Теперь рассмотрим выражение \(\sin^2(\angle K) + \cos^2(\angle K)\):

\[\sin^2(\angle K) + \cos^2(\angle K) = \left(\frac{k}{l}\right)^2 + \left(\frac{m}{l}\right)^2 = \frac{k^2}{l^2} + \frac{m^2}{l^2} = \frac{k^2 + m^2}{l^2}\]

По теореме Пифагора для треугольника KLM:

\[k^2 + m^2 = l^2\]

Подставляем в выражение:

\[\frac{k^2 + m^2}{l^2} = \frac{l^2}{l^2} = 1\]

Таким образом, \(\sin^2(\angle K) + \cos^2(\angle K) = 1\).

Ответ: Доказано, sin²∠K + cos²∠K = 1