487. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 3 + 2 a²-4 (a-2)2 2a-4 a+2 не зависит от значения а.

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители: \[\frac{3}{(a-2)^2} + \frac{2}{(a-2)(a+2)} - \frac{2a-4}{a+2}\]
2. Приведем к общему знаменателю \((a-2)^2(a+2)\): \[\frac{3(a+2) + 2(a-2) - (2a-4)(a-2)}{(a-2)^2(a+2)}\]
3. Раскроем скобки: \[\frac{3a+6 + 2a-4 - (2a^2 - 4a - 4a + 8)}{(a-2)^2(a+2)}\]
4. Упростим числитель: \[\frac{5a+2 - 2a^2 + 8a - 8}{(a-2)^2(a+2)}\] \[\frac{-2a^2 + 13a - 6}{(a-2)^2(a+2)}\]
5. Разложим числитель на множители: \[\frac{-2a^2 + 13a - 6}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{-(2a-1)(a-6)}{(a-2)^2(a+2)}\]
6. Первоначальное выражение: \(\frac{3}{4-4a+a^2} + \frac{2}{a^2-4} - \frac{2a-4}{a+2}\) имеет вид: \(\frac{3}{(a-2)^2} + \frac{2}{(a-2)(a+2)} - \frac{2a-4}{a+2}\)
7. Упростим выражение: \[\frac{3(a+2) + 2(a-2) - (2a-4)(a-2)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{3a+6+2a-4-(2a^2-8a+8)}{(a-2)^2(a+2)}\] \[\frac{3a+6+2a-4-2a^2+8a-8)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{-2a^2+13a-6}{(a-2)^2(a+2)}\]
8. Разложим числитель на множители: \[\frac{-2a^2+13a-6}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{-(2a-1)(a-6)}{(a-2)^2(a+2)}\]
9. К сожалению, выражение не упрощается до числового значения, не зависящего от a.

Ответ: Выражение зависит от значения а.