668 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональ- ное для отрезков, на которые основание перпендикуляра де- лит диаметр.

Решение:

668

Пусть дана окружность с диаметром AB. Из произвольной точки C на окружности опустим перпендикуляр CD на диаметр AB. Надо доказать, что CD является средним пропорциональным для отрезков AD и DB, то есть $$CD^2 = AD \cdot DB$$.

Соединим точки A и C, а также B и C. Так как угол ACB опирается на диаметр AB, то он прямой, то есть $$∠ACB = 90°$$.

В прямоугольном треугольнике ACB CD - высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе AB. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу, то есть $$CD^2 = AD \cdot DB$$. Следовательно, CD является средним пропорциональным для отрезков AD и DB.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано