667 Диаметр АА₁ окружности перпендикулярен к хорде ВВ₁ и пересекает её в точке С. Найдите ВВ₁, если АС = 4 см, СА₁ = 8 см.

Решение:

667

Пусть O - центр окружности, тогда $$AO = OA_1 = R$$. Так как $$AA_1$$ - диаметр, то $$R = AC + CA_1 = 4 + 8 = 12$$ см. $$OC = AO - AC = 12 - 4 = 8$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle OCB$$, где $$OB = R = 12$$ см, $$OC = 8$$ см. По теореме Пифагора найдем $$CB$$:

$$CB = \sqrt{OB^2 - OC^2} = \sqrt{12^2 - 8^2} = \sqrt{144 - 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$ см.

Так как диаметр $$AA_1$$ перпендикулярен хорде $$BB_1$$, то он делит ее пополам, то есть $$BC = CB_1$$. Следовательно,

$$BB_1 = 2 \cdot CB = 2 \cdot 4\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$$ см.

Ответ: $$8\sqrt{5}$$ см.