Доказать тождество (558-559). sin (2α - 3π) + 2 cos (7π + 2α) 6 =-√3 ct

Для доказательства тождества \( \frac{\sin(2\alpha - 3\pi) + 2 \cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha)}{} = -\sqrt{3} \cot \alpha \), выполним следующие преобразования: 1. Преобразуем \( \sin(2\alpha - 3\pi) \): \( \sin(2\alpha - 3\pi) = \sin(2\alpha - 3\pi + 4\pi) = \sin(2\alpha + \pi) = -\sin(2\alpha) \) 2. Преобразуем \( \cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha) \): \( \cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha) = \cos(\frac{7\pi}{6})\cos(2\alpha) - \sin(\frac{7\pi}{6})\sin(2\alpha) \) Известно, что \( \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \), поэтому: \( \cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}\sin(2\alpha) \) 3. Подставим преобразованные выражения в исходное: \[ \frac{-\sin(2\alpha) + 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}\sin(2\alpha))}{} \] \[ \frac{-\sin(2\alpha) - \sqrt{3}\cos(2\alpha) + \sin(2\alpha)}{} = \frac{-\sqrt{3}\cos(2\alpha)}{} \] 4. Упростим выражение, используя \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \) и \( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \): \( \frac{-\sqrt{3}(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))}{} \) 5. Разделим числитель и знаменатель на \( \sin^2(\alpha) \) и используем \( \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \): \( \frac{-\sqrt{3}(\cot^2(\alpha) - 1)}{} \) \[ = -\sqrt{3} \cot \alpha \]

Ответ: -\sqrt{3} cot α

Шаг 1: Преобразование синуса \[ \sin(2\alpha - 3\pi) = \sin(2\alpha - 3\pi + 4\pi) = \sin(2\alpha + \pi) = -\sin(2\alpha) \] Шаг 2: Преобразование косинуса \[ \cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha) = \cos(\frac{7\pi}{6})\cos(2\alpha) - \sin(\frac{7\pi}{6})\sin(2\alpha) \] \[ \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \] \[ \cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}\sin(2\alpha) \] Шаг 3: Подстановка в исходное выражение \[ \frac{-\sin(2\alpha) + 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}\sin(2\alpha))}{} = \frac{-\sqrt{3}\cos(2\alpha)}{} \] Шаг 4: Упрощение выражения Используем \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \) и \( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \) \[ \frac{-\sqrt{3}(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))}{} \] Шаг 5: Разделение и использование котангенса Разделим числитель и знаменатель на \( \sin^2(\alpha) \) и используем \( \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \) \[ \frac{-\sqrt{3}(\cot^2(\alpha) - 1)}{} = -\sqrt{3} \cot \alpha \]

Ответ: -\sqrt{3} cot α