Длина кругового сектора равна 4π см, а площадь сектора - 16π см². Найти градусную меру дуги и радиус окружности.

Краткое пояснение:

Для решения задачи используем формулы длины дуги и площади сектора, выраженные через радиус и центральный угол. Также используем связь между длиной дуги и площадью сектора.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Используем формулу для площади сектора: \( S_{сектора} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi R^2 \) и формулу для длины дуги: \( L = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi R \).
2. Шаг 2: Свяжем площадь и длину дуги. Заметим, что \( S_{сектора} = \frac{1}{2} L \cdot R \). Нам дано \( L = 4\pi \) см и \( S_{сектора} = 16\pi \) см². Подставляем известные значения: \( 16\pi = \frac{1}{2} \cdot 4\pi \cdot R \).
3. Шаг 3: Решаем уравнение для радиуса R: \( 16\pi = 2\pi R \). \( R = \frac{16\pi}{2\pi} = 8 \) см.
4. Шаг 4: Теперь найдем градусную меру дуги (\(\alpha\)). Используем формулу длины дуги: \( L = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi R \). \( 4\pi = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot 8 \). \( 4\pi = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 16\pi \).
5. Шаг 5: Решаем уравнение для \(\alpha\): \( \alpha = \frac{4\pi \cdot 360^{\circ}}{16\pi} = \frac{4 \cdot 360^{\circ}}{16} = \frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ} \).

Ответ: Градусная мера дуги равна 90°, радиус окружности равен 8 см.