248. Диагонали равнобокой трапеции ABCD (AB = CD) пересекаются в точке О. Докажите, что AO = OD и BO = OC.

Доказательство:

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AB = CD, AC и BD - диагонали, O - точка пересечения диагоналей. Нужно доказать, что AO = OD и BO = OC.

1. Так как трапеция равнобокая, то ∠BAD = ∠CDA и ∠ABC = ∠DCB.

2. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Они подобны, так как AD || BC (свойства трапеции) и ∠OAD = ∠OCB, ∠ODA = ∠OBC как накрест лежащие углы.

3. Из подобия треугольников следует, что AO/OC = OD/OB.

4. Рассмотрим треугольники ABD и DCA. AB = CD (по условию), AD - общая сторона, ∠BAD = ∠CDA (свойство равнобокой трапеции).

5. Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Значит, BD = AC.

6. Так как AC = BD и AO/OC = OD/OB, то AO + OC = OD + OB.

7. Пусть AO = x, OC = y, OD = z, OB = t. Тогда x + y = z + t и x/y = z/t.

8. Из x/y = z/t следует xt = yz. Из x + y = z + t следует x = z + t - y.

9. Подставим x в xt = yz: (z + t - y)t = yz, zt + t^2 - yt = yz, zt - yz = yt - t^2, z(t - y) = t(y - t). Отсюда z = t или y = t.

10. Если z = t, то OD = OB, а так как AO + OC = OD + OB, то и AO = OC. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано