2) Дано: $$EF \parallel AC$$ (рис. 5.108). Найти: $$P_{ABC}$$.

Рассмотрим $$\triangle ABC$$. По условию $$EF \parallel AC$$. Значит, $$\triangle EBF \sim \triangle ABC$$ по двум углам ($$\angle B$$ - общий, $$\angle BEF = \angle BAC$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$EF$$ и $$AC$$ и секущей $$AB$$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{EB}{AB} = \frac{BF}{BC} = \frac{EF}{AC}$$.

По условию $$AE = 4$$, $$BF = 5$$. Пусть $$EB = x$$, $$FC = y$$. Тогда $$AB = x + 4$$, $$BC = y + 5$$.

Получаем: $$\frac{x}{x+4} = \frac{5}{y+5} = \frac{EF}{AC}$$.

Из рисунка 5.108 видно, что $$AC = 12$$.

Пусть $$\frac{EB}{AB} = \frac{BF}{BC}$$. Тогда: $$\frac{x}{x+4} = \frac{5}{y+5}$$.

Выразим $$y$$ через $$x$$: $$x(y+5) = 5(x+4)$$, $$xy + 5x = 5x + 20$$, $$xy = 20$$, $$y = \frac{20}{x}$$.

Периметр треугольника $$ABC$$ равен $$P_{ABC} = AB + BC + AC = (x+4) + (y+5) + 12 = x + 4 + \frac{20}{x} + 5 + 12 = x + \frac{20}{x} + 21$$.

Так как недостаточно данных для определения $$x$$, невозможно найти периметр треугольника $$ABC$$.