3) Дано: $$ABCD$$ – трапеция (рис. 5.109). Доказать: $$AO = CO$$.

Утверждение $$AO = CO$$ неверно для произвольной трапеции. Оно может быть верно только для равнобедренной трапеции, у которой диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Для доказательства $$AO = CO$$ необходимо, чтобы трапеция $$ABCD$$ была равнобедренной (то есть $$AB = CD$$). В этом случае $$\triangle ABO = \triangle CDO$$ по двум сторонам и углу между ними ($$AB = CD$$, $$\angle BAO = \angle DCO$$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$AC$$, $$\angle ABO = \angle CDO$$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$BD$$). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, в частности, $$AO = CO$$.

Однако, если трапеция не является равнобедренной, то $$AO$$ не обязательно равно $$CO$$.