3. Дано: АВСД – трапеция (рис. 7.154). Найти: AD, SABCD

Ответ: AD = \[6 + 4\sqrt{3}\], S = \[18 + 12\sqrt{3}\]

1. Рассмотрим рисунок 7.154. В данной трапеции ABCD, углы при основании AD равны.
2. Проведем высоту СK. Рассмотрим треугольник СВК - прямоугольный, угол В = 120°, угол С = 30°, тогда СК = 0,5 * BC = 0,5 * 6 = 3.
3. По теореме Пифагора, ВК = \(\sqrt{BC^2 - CK^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)
4. Рассмотрим треугольник АСК - прямоугольный, угол А = 60°, тогда угол С = 30°. Т.к. катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, то АК = СК * \(\sqrt{3}\) = \(3\sqrt{3}\).
5. AD = AK + KD = \(3\sqrt{3}\) + 6 + \(\sqrt{3}\) = 6 + \(4\sqrt{3}\)
6. Площадь трапеции равна: S = 0,5 * (BC + AD) * CK = 0,5 * (6 + 6 + \(4\sqrt{3}\)) * 3 = 0,5 * (12 + \(4\sqrt{3}\)) * 3 = (6 + \(2\sqrt{3}\)) * 3 = 18 + \(6\sqrt{3}\)

Ответ: AD = \[6 + 4\sqrt{3}\], S = \[18 + 6\sqrt{3}\]