4. Дано: АВСД – трапеция (рис. 7.149). Найти: AD, CD, SABCD

Ответ: AD = \[3+4\sqrt{3}\], CD = 8, S = \[12+8\sqrt{3}\]

1. Рассмотрим рисунок 7.149. В данной трапеции АВСD, углы при основании AD равны 60° и 90°.
2. Проведем высоту СК. Рассмотрим треугольник СВК - прямоугольный, угол В = 150°, угол С = 30°, тогда СК = 0,5 * BC = 0,5 * 4 = 2.
3. Рассмотрим треугольник АСК - прямоугольный, угол А = 60°, тогда угол С = 30°. Т.к. катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, то АК = СК * \(\sqrt{3}\) = \(2\sqrt{3}\).
4. Т.к. CD = BK + AK = 3 + \(2\sqrt{3}\) + \(2\sqrt{3}\) = 3 + \(4\sqrt{3}\)
5. CD = AB = 8
6. Площадь трапеции АВСD равна: S = 0,5 * (BC + AD) * CK = 0,5 * (4 + 3 + \(4\sqrt{3}\)) * 4 = 2 * (7 + \(4\sqrt{3}\)) = 14 + \(8\sqrt{3}\)

Ответ: AD = \[3+4\sqrt{3}\], CD = 8, S = \[14+8\sqrt{3}\]