3 Дано: А...Д., - куб с ребром, равным √72 см. Найти: расстояние между прямыми АА, и BD₁.

Ответ: 6 см

1. Определим длину ребра куба: Ребро куба равно \(\sqrt{72}\) см, что можно упростить: \[ a = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \; \text{см} \]
2. Найдем диагональ основания куба (BD): Диагональ основания (BD) связана со стороной куба (a) формулой: \[ BD = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 6 \times 2 = 12 \; \text{см} \]
3. Рассмотрим треугольник AA₁D, где AA₁ - ребро куба, АD - ребро куба, А₁D - диагональ грани куба. Точка O - середина BD, тогда AO = OD = BD/2 = 6 см.
4. Треугольник AA₁O - прямоугольный, и расстояние от A₁ до BD₁ - это высота, опущенная из вершины прямого угла A₁ на гипотенузу BD₁. Эта высота является расстоянием между прямыми AA₁ и BD₁.
5. Вычислим высоту (h) треугольника AA₁O: Площадь треугольника можно выразить двумя способами: \[ \frac{1}{2} \times AO \times AA_1 = \frac{1}{2} \times A_1O \times h \] Отсюда: \[ h = \frac{AO \times AA_1}{A_1O} \] Найдем A₁O: \[ A_1O = \sqrt{AA_1^2 + AO^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \; \text{см} \]
6. Подставим значения в формулу для высоты: \[ h = \frac{6 \times 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6} \; \text{см} \]

Ответ: 6 см