Решение задачи №6

Пусть дана трапеция ABCD, где BC = 15 и AD = 16 - основания, AB = 4√2 - боковая сторона, ∠BAD = 135°.

Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол ∠BAH = 135° - 90° = 45°.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠ABH = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ABH равнобедренный, и AH = BH.

Примем AH = BH = x. По теореме Пифагора в треугольнике ABH имеем:
$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$
$$(4\sqrt{2})^2 = x^2 + x^2$$
$$32 = 2x^2$$
$$x^2 = 16$$
$$x = 4$$

Таким образом, высота трапеции BH = 4.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$$

Подставляем значения:
$$S = \frac{15 + 16}{2} \cdot 4$$
$$S = \frac{31}{2} \cdot 4$$
$$S = 31 \cdot 2 = 62$$

Ответ: 62