Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3:2, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 64 см.

Решение: Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = BC. Окружность вписана в треугольник ABC, и точка касания делит боковую сторону в отношении 3:2, считая от вершины угла при основании. 1. Обозначим AK = 3x, KC = 2x, где K - точка касания окружности со стороной AC. Следовательно, AC = AK + KC = 3x + 2x = 5x. Так как треугольник равнобедренный, AB = BC = 5x. 2. Обозначим точку касания на боковой стороне AB, например, за M. AM = AK = 3x, значит, BM = AB - AM = 5x - 3x = 2x. 3. Тогда периметр треугольника равен AB + BC + AC = 5x + 5x + 5x = 15x. 4. По условию периметр равен 64. Значит, 15x = 64, отсюда x = 64/15. 5. Тогда AC = 5x = 5 * (64/15) = 64/3 см. AB = BC = 5x = 64/3 см. Ответ: AC = 64/3 см, AB = BC = 64/3 см