23 B Mo N C Mo A D M - N - середина BD середина АС 1 Доказать, что М№ (AD + CB) 2

Дано: \(M\) - середина \(BD\), \(N\) - середина \(AC\). Доказать: \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB})\). Доказательство: \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AN}\). \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}\). Сложим эти два уравнения: \(2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{CN})\). Так как \(M\) - середина \(BD\), то \(\overrightarrow{MD} = -\overrightarrow{MB}\). Так как \(N\) - середина \(AC\), то \(\overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{CN}\). Тогда \(2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BC}) = -(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB})\). Следовательно, \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB})\), что и требовалось доказать.