191. Биссектриса острого угула прямоугольного треугольни ка делит один из катетов на отрезки длиной 25 см и 20 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°), биссектриса угла A пересекает катет BC в точке D, BD = 25 см, DC = 20 см.

По свойству биссектрисы треугольника, \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\), то есть \(\frac{AB}{AC} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}\). Обозначим AC = 4x, тогда AB = 5x.

По теореме Пифагора для треугольника ABC: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\).

\((5x)^2 = (4x)^2 + (25 + 20)^2\)

\(25x^2 = 16x^2 + 45^2\)

\(9x^2 = 45^2\)

\(x^2 = \frac{45^2}{9} = 5^2 \cdot 3^2\)

\(x = 5 \cdot 3 = 15\)

Тогда AC = 4 * 15 = 60 см, AB = 5 * 15 = 75 см.

Периметр треугольника ABC равен: \(P = AB + BC + AC = 75 + 45 + 60 = 180\) см.

Ответ: 180 см.