Билет №8. 1. Внешний угол треугольника. Определение и свойство. 2. Теорема о сумме углов треугольника. 3. Задача на тему «Второй признак равенства треугольников». На биссектрисе угла А взята точка Е, а на сторонах этого угла точки В и С такие, что угол АБС равен углу АЕВ. Доказать, что ВЕ равно СЕ.

Решение:

1. Внешний угол треугольника — это угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника. Свойство: Внешний угол треугольника равен сумме двух других, не смежных с ним, внутренних углов.

2. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов треугольника равна 180°.

3. Задача:

Дано: \(\triangle ABC\), \(AE\) — биссектриса \(\angle BAC\), \(E\) — точка на \(AE\), \(B\) и \(C\) — точки на сторонах угла \(A\), \(∠ ABC = ∠ AEB\).

Доказать: \(BE = CE\).

Доказательство:

1. Рассмотрим \(\triangle ABE\) и \(\triangle ACE\).
2. \(∠ BAE = ∠ CAE\) (так как \(AE\) — биссектриса \(\angle BAC\)).
3. \(∠ ABE = ∠ AEB\) (дано).
4. В \(\triangle ABE\) сумма углов равна 180°: \(∠ BAE + ∠ ABE + ∠ AEB = 180°\).
5. Подставим известные значения: \(∠ BAE + ∠ AEB + ∠ AEB = 180°\) (так как \(∠ ABE = ∠ AEB\)).
6. \(∠ BAE + 2∠ AEB = 180°\)
7. \(∠ BAE = 180° - 2∠ AEB\).
8. Теперь рассмотрим \(\triangle ACE\). Внешний угол \(∠ AEB\) для \(\triangle ACE\) равен сумме двух других внутренних углов: \(∠ AEB = ∠ CAE + ∠ ACE\).
9. Отсюда \(∠ ACE = ∠ AEB - ∠ CAE\).
10. Мы знаем, что \(∠ BAE = ∠ CAE\).
11. Подставим \(∠ BAE = 180° - 2∠ AEB\) в \(∠ BAE = ∠ CAE\): \(180° - 2∠ AEB = ∠ CAE\).
12. Так как \(∠ BAE = ∠ CAE\), то \(∠ CAE = 180° - 2∠ AEB\).
13. Из \(∠ ACE = ∠ AEB - ∠ CAE\), подставим \(∠ CAE\): \(∠ ACE = ∠ AEB - (180° - 2∠ AEB)\)
14. \(∠ ACE = ∠ AEB - 180° + 2∠ AEB\)
15. \(∠ ACE = 3∠ AEB - 180°\).
16. У нас есть \(∠ ABE = ∠ AEB\).
17. Рассмотрим \(\triangle BCE\). Углы при основании \(BC\) равны \(∠ CBE\) и \(∠ BCE\).
18. \(∠ CBE = ∠ ABC = ∠ AEB\).
19. \(∠ BCE = ∠ ACE = 3∠ AEB - 180°\).
20. Сумма углов в \(\triangle BCE\) равна 180°: \(∠ CBE + ∠ BCE + ∠ CEB = 180°\).
21. \(∠ CEB\) — это смежный угол с \(∠ AEB\), поэтому \(∠ CEB = 180° - ∠ AEB\).
22. Подставим: \(∠ AEB + (3∠ AEB - 180°) + (180° - ∠ AEB) = 180°\)
23. \(∠ AEB + 3∠ AEB - 180° + 180° - ∠ AEB = 180°\)
24. \(3∠ AEB = 180°\)
25. \(∠ AEB = 60°\).
26. Если \(∠ AEB = 60°\), то \(∠ ABC = 60°\).
27. \(∠ BAC = 180° - 2 ∠ AEB = 180° - 2 † 60° = 180° - 120° = 60°\).
28. Следовательно, \(\triangle ABC\) — равносторонний, и \(\triangle BCE\) — равнобедренный с основанием \(BC\).
29. Поскольку \(\triangle BCE\) равнобедренный с основанием \(BC\), то \(BE = CE\).

Ответ: Доказано, что BE = CE.