Билет 5 1. Квадрат. Свойства и признаки квадрата. Формула площади квадрата. Доказать, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. 2. Параллельные прямые. Свойства параллельных прямых 3. Задача Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если ВК:КА=3:4, KM=18.

Решение:

1. Квадрат

Определение: Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства и признаки квадрата:

• Квадрат является одновременно ромбом и прямоугольником, поэтому обладает всеми их свойствами.
• Все стороны равны.
• Все углы прямые.
• Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами углов.

Формула площади квадрата:

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: \( S = a^2 \). Или равна половине квадрата диагонали: \( S = \frac{1}{2} d^2 \).

Доказательство: Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть дан произвольный четырехугольник ABCD. Соединим середины его сторон: M — середина AB, N — середина BC, P — середина CD, Q — середина AD. Рассмотрим треугольник ABC. MN — средняя линия, значит MN || AC и \( MN = \frac{1}{2} AC \). Аналогично, в треугольнике ADC, PQ — средняя линия, значит PQ || AC и \( PQ = \frac{1}{2} AC \). Отсюда следует, что MN || PQ и MN = PQ. Аналогично, в треугольнике ABD, MQ — средняя линия, MQ || BD и \( MQ = \frac{1}{2} BD \). В треугольнике BCD, NP — средняя линия, NP || BD и \( NP = \frac{1}{2} BD \). Отсюда следует, что MQ || NP и MQ = NP. Четырехугольник MNPQ имеет две пары противоположных сторон, которые параллельны и равны. Следовательно, MNPQ — параллелограмм.

2. Параллельные прямые

Определение: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Свойства параллельных прямых:

• Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной (аксиома параллельности).
• Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
• При пересечении параллельных прямых секущей образуются пары равных углов (накрест лежащие, соответственные) и пары углов, сумма которых равна 180° (односторонние).

  3. Задача

  Дано: \( \triangle ABC \), KM || AC, K — на AB, M — на BC. ВК : КА = 3 : 4. KM = 18.

  Найти: AC.

  Решение:

  1. Так как KM || AC, то \( \triangle KBM ~ \triangle ABC \) по двум углам (угол B общий, \( \triangle KBM = \triangle ABC \) как соответственные углы при параллельных KM и AC и секущей BC).
  2. Отношение отрезков на сторонах треугольника равно отношению соответствующих сторон: \( \frac{BK}{BA} = \frac{BM}{BC} = \frac{KM}{AC} \).
  3. Из условия ВК : КА = 3 : 4, следует, что BA = BK + KA. Если BK = 3x, то KA = 4x, а BA = 7x.
  4. Тогда \( \frac{BK}{BA} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7} \).
  5. Следовательно, \( \frac{KM}{AC} = \frac{3}{7} \).
  6. Подставляем значение KM: \( \frac{18}{AC} = \frac{3}{7} \).
  7. \( AC = \frac{18 · 7}{3} = 6 · 7 = 42 \).

  Ответ: AC = 42.