Билет 1 1. Четырехугольник и его элементы (определение четырехугольника, сторон, вершин, понятие соседних, противолежащих вершин и сторон, сумма углов с доказательством, виды четырехугольников с чертежами) 2. Равнобедренный и равносторонний треугольник, свойства 3. Задача Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=12, CK=16.

Решение:

1. Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами. У четырехугольника есть:

• Вершины — точки, в которых сходятся стороны.
• Стороны — отрезки, образующие четырехугольник.
• Соседние вершины — вершины, соединенные стороной.
• Противолежащие вершины — вершины, не являющиеся соседними.
• Противолежащие стороны — стороны, соединяющие противолежащие вершины.

Сумма углов четырехугольника равна 360°. Доказательство:

1. Проведем диагональ BD. Четырехугольник разобьется на два треугольника: ABD и BCD.
2. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°.
3. Сумма углов четырехугольника равна сумме углов этих двух треугольников: \( \text{180°} + \text{180°} = \text{360°} \).

Виды четырехугольников:

• Параллелограмм: противолежащие стороны параллельны.
• Прямоугольник: параллелограмм с прямыми углами.
• Ромб: параллелограмм, у которого все стороны равны.
• Квадрат: прямоугольник, у которого все стороны равны (имеет свойства прямоугольника и ромба).
• Трапеция: четырехугольник, у которого только две стороны параллельны.

2. Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Свойства:

• Углы при основании равны.
• Медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Свойства:

• Все углы равны 60°.
• Является частным случаем равнобедренного треугольника.

3. Задача

Дано: ABCD — параллелограмм, BK : KC = 12 : 16. AK — биссектриса.

Найти: Периметр ABCD.

Решение:

1. Так как ABCD — параллелограмм, то BC = BK + KC = 12 + 16 = 28.
2. Так как AK — биссектриса, то \( \triangle ABK \) — равнобедренный ( \( \triangle ABK \) — равнобедренный, потому что \( \triangle ABK \) и \( \triangle KAB \) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AK), значит, AB = BK = 12.
3. Стороны параллелограмма AB = CD = 12, BC = AD = 28.
4. Периметр параллелограмма P = 2 * (AB + BC) = 2 * (12 + 28) = 2 * 40 = 80.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 80.