Билет 3 1. Прямоугольник. Свойства и признаки прямоугольника. Формула площади прямоугольника (один из признаков с доказательством) 2. ГМТ. (определение, примеры, серединный перпендикуляр, биссектриса как ГМТ) 3. Задача Около трапеции ABCD, один из углов которой равен 36°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.

Решение:

1. Прямоугольник

Определение: Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90°).

Свойства прямоугольника:

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Все углы прямые.
• Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Признаки прямоугольника:

• Если в параллелограмме есть один прямой угол, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Формула площади прямоугольника:

Площадь прямоугольника равна произведению двух смежных сторон. \( S = a · b \), где \( a \) и \( b \) — длины смежных сторон.

Доказательство признака:

Пусть дан параллелограмм ABCD, и \( \triangle A = 90° \). Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные углы равны, значит \( \triangle C = \triangle A = 90° \). Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит \( \triangle B = \triangle D = 180° - 90° = 90° \). Таким образом, все углы четырехугольника равны 90°, что соответствует определению прямоугольника.

2. ГМТ (Геометрическое место точек)

Определение: Геометрическим местом точек (ГМТ) называется множество всех точек, обладающих данным свойством.

Примеры ГМТ:

• Окружность — ГМТ точек, равноудаленных от данной точки (центра).
• Прямая — ГМТ точек, равноудаленных от двух параллельных прямых.
• Биссектриса угла — ГМТ точек, равноудаленных от сторон угла.

Серединный перпендикуляр к отрезку — ГМТ точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

3. Задача

Дано: ABCD — трапеция, около которой описана окружность. \( \triangle A = 36° \).

Найти: Остальные углы трапеции.

Решение:

1. Если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна 180°.
2. Так как ABCD — трапеция, у нее есть пара параллельных оснований (например, AD || BC).
3. Для трапеции, около которой можно описать окружность, выполняется свойство: боковые стороны равны. То есть AB = CD.
4. Углы при основании равнобедренной трапеции равны. Значит, \( \triangle A = \triangle D = 36° \) и \( \triangle B = \triangle C \).
5. Так как \( \triangle A + \triangle C = 180° \) (свойство четырехугольника, вписанного в окружность), то \( 36° + \triangle C = 180° \).
6. \( \triangle C = 180° - 36° = 144° \).
7. Так как \( \triangle B = \triangle C \), то \( \triangle B = 144° \).
8. Проверка: \( \triangle A + \triangle B + \triangle C + \triangle D = 36° + 144° + 144° + 36° = 360° \).

Ответ: Углы трапеции равны 36°, 144°, 144°, 36°.