Билет 4 1. Ромб. Свойства и признаки ромба. Формулы площади ромба (один из признаков с доказательством 2. Треугольники. Виды треугольников. Понятие равных треугольников. Неравенство треугольника. 3. Задача Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=8 и CH=2. Найдите высоту ромба.

Решение:

1. Ромб

Определение: Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

• Все стороны равны.
• Противоположные стороны параллельны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• Диагонали являются биссектрисами углов ромба.
• Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Признаки ромба:

• Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
• Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами углов, то этот параллелограмм — ромб.
• Если в параллелограмме смежные стороны равны, то этот параллелограмм — ромб.

Формулы площади ромба:

1. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту: \( S = a · h \).
2. Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей: \( S = \frac{1}{2} d_1 · d_2 \).
3. Площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла между сторонами: \( S = a^2 · \text{sin} ³\).

Признак ромба (доказательство):

Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть дан параллелограмм ABCD, диагонали AC и BD перпендикулярны. Рассмотрим треугольники AOB и COB. По условию AB = CD (противоположные стороны параллелограмма), AO = OC и BO = OD (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Следовательно, \( \triangle AOB = \triangle COB \) по трем сторонам. Значит, AB = BC. Так как ABCD — параллелограмм, то все его стороны равны (AB = BC = CD = DA), что соответствует определению ромба.

2. Треугольники

Виды треугольников:

• По углам: остроугольный (все углы острые), прямоугольный (один угол прямой), тупоугольный (один угол тупой).
• По сторонам: разносторонний (все стороны разные), равнобедренный (две стороны равны), равносторонний (все стороны равны).

  Равные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие стороны и углы равны.

  Неравенство треугольника: Сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

  3. Задача

  Дано: ABCD — ромб, AH — высота, DH=8, CH=2.

  Найти: AH.

  Решение:

  1. Так как ABCD — ромб, то CD = DH + CH = 8 + 2 = 10.
  2. Все стороны ромба равны, значит, CD = AD = 10.
  3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH. По теореме Пифагора: \( AH^2 + DH^2 = AD^2 \).
  4. \( AH^2 + 8^2 = 10^2 \).
  5. \( AH^2 + 64 = 100 \).
  6. \( AH^2 = 100 - 64 = 36 \).
  7. \( AH = √{36} = 6 \).

  Ответ: Высота ромба равна 6.