Билет № 3. 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

На клетчатой бумаге точка А имеет координаты (1, 2). Точка В имеет координаты (0, 0), а точка С имеет координаты (3, 1).

Найдем координаты середины отрезка ВС (точка М):

\[ M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) \]

\[ M = \left( \frac{0 + 3}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right) = (1.5, 0.5) \]

Теперь найдем расстояние между точками А(1, 2) и M(1.5, 0.5) по формуле расстояния между двумя точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

\[ d = \sqrt{(1.5 - 1)^2 + (0.5 - 2)^2} \]

\[ d = \sqrt{(0.5)^2 + (-1.5)^2} \]

\[ d = \sqrt{0.25 + 2.25} \]

\[ d = \sqrt{2.5} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, представим \( 2.5 \) как \( \frac{5}{2} \):

\[ d = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \text{ см} \]

Приближенное значение:

\[ d \approx \frac{3.162}{2} \approx 1.581 \text{ см} \]

Ответ: \( \frac{\sqrt{10}}{2} \) см (приблизительно 1.58 см).