Билет №2, задача в. В треугольнике ABC на высоте BD отмечена точка O; ∠OAD = ∠OCD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB и BC.

Так как BD — высота треугольника ABC, то:

BD ⟂ AC.

Точка O лежит на BD, поэтому OD ⟂ AC.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AOD и COD. У них:

• OD — общая сторона;
• ∠ADO = ∠CDO = 90°;
• по условию ∠OAD = ∠OCD.

Следовательно, треугольники AOD и COD равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому:

OA = OC.

Равные стороны образуют с основанием AC равные углы, то есть точка O лежит на биссектрисе угла ABC. А каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон AB и BC.

Значит, расстояния от точки O до прямых AB и BC равны.

Ответ: точка O равноудалена от прямых AB и BC.