Билет №2, задача б. В равнобедренном треугольнике ABC BD — высота к основанию. Точки M и H принадлежат сторонам AB и BC соответственно. Луч DB — биссектриса угла MDH. Докажите, что AM = HC.

Пусть AB = BC, а BD — высота к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой угла B. Поэтому:

AD = DC, ∠ABD = ∠DBC.

По условию луч DB — биссектриса угла MDH, значит:

∠MDB = ∠BDH.

Так как M ∈ AB и H ∈ BC, то:

∠MDB = ∠HDB, а ∠BDH = ∠HDB.

Рассмотрим треугольники BDM и BDH. Они имеют общую сторону BD, а углы при B и при D равны. Следовательно, соответствующие отрезки на симметричных сторонах равны. Из симметрии треугольника относительно высоты BD точки M и H соответствуют друг другу.

Поэтому равны отрезки, отсекаемые от равных боковых сторон:

AM = HC.

Ответ: AM = HC.