Билет №14 1. Вписанный угол. Определение. Теорема о вписанном угле. 2. Докажите, что прямоугольник, у которого диагонали перпендикулярны является квадратом.

Билет №14

• 1. Вписанный угол: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Теорема: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следствие: Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается.
• 2. Доказательство: Пусть дан прямоугольник ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию, AC ⊥ BD. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть AO = BO = CO = DO. Так как диагонали перпендикулярны, то треугольник AOB является прямоугольным и равнобедренным (AO = BO). Следовательно, углы при основании равны: \( ∠OAB = ∠OBA \). В прямоугольнике ABCD AB || CD и AD || BC. Угол OAB равен углу OBA (так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AB и CD и секущей AC, но это неверно. Углы OAB и OBA равны, так как треугольник AOB равнобедренный). Следовательно, ∠OAB = ∠OBA. Рассмотрим треугольник AOD. Он также равнобедренный (AO=DO). Угол OAD = угол ODA. Так как \( ∠OAB = ∠OBA \) и \( ∠OAD = ∠ODA \), а \( ∠DAB = ∠OAD + ∠OAB \) и \( ∠CBA = ∠CBO + ∠OBA \). Так как AO=BO=CO=DO и AC ⊥ BD, то все четыре треугольника (AOB, BOC, COD, DOA) являются равными прямоугольными равнобедренными треугольниками. Следовательно, все стороны прямоугольника равны: AB = BC = CD = DA. Таким образом, прямоугольник ABCD является квадратом.