Билет №11 1.Формула площади ромба через его диагонали. (вывод) 2. Вывод значений тригонометрических функций для угла в 60°.

Билет №11

• 1. Площадь ромба через диагонали: Пусть \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Ромб состоит из четырех равных прямоугольных треугольников с катетами \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \). Площадь одного такого треугольника равна \( \frac{1}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} = \frac{d_1d_2}{8} \). Площадь ромба равна сумме площадей этих треугольников: \( S = 4 \cdot \frac{d_1d_2}{8} = \frac{d_1d_2}{2} \).
• 2. Тригонометрические функции для угла 60°: Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной \(a\). Проведем высоту BH к стороне AC. В равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой. Точка H — середина AC, значит, AH = \( \frac{a}{2} \). Угол BAH равен 30°, угол ABH равен 60°. В прямоугольном треугольнике ABH: \( BH = √(AB^2 - AH^2) = √(a^2 - (\frac{a}{2})^2) = √(a^2 - \frac{a^2}{4}) = √(\frac{3a^2}{4}) = \frac{a√{3}}{2} \).
  • \( sin(60°) = \frac{BH}{AB} = \frac{\frac{a√{3}}{2}}{a} = \frac{√{3}}{2} \)
  • \( cos(60°) = \frac{AH}{AB} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} \)
  • \( tan(60°) = \frac{BH}{AH} = \frac{\frac{a√{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = √{3} \)