Билет №13 1.Свойства касательной и секущих. Доказательство. 2. Вывод формулы площади параллелограмма.

Билет №13

• 1. Свойства касательной и секущих: Если из точки, находящейся вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению отрезка секущей от этой точки до точки пересечения с окружностью на её внешнюю часть. Доказательство: Пусть из точки P проведены касательная PA и секущая PBC (B — внешняя точка, C — внутренняя). Угол P равен углу между касательной PA и хордой AC (теорема о касательной и хорде). Угол PBC = угол PAC (вписанный угол, опирающийся на дугу AC). Треугольники PAB и PCA подобны по двум углам: \( ∠P \) — общий, \( ∠PAB = ∠PCA \). Из подобия следует \( rac{PA}{PC} = rac{PB}{PA} \), откуда \( PA^2 = PB ∙ PC \).
• 2. Вывод формулы площади параллелограмма: Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Пусть дан параллелограмм ABCD. Проведем высоту BH к стороне AD. Площадь параллелограмма равна площади прямоугольника, достроенного до него. Можно разрезать параллелограмм по высоте BH и перенести получившийся треугольник ABH к стороне CD, чтобы получить прямоугольник BCHK. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \( S = AD ∙ BH \).