Билет 12. 2. Докажите теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Сформулируйте следствия из теоремы.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против равных сторон лежат равные углы.

Доказательство (одна из частей):

Часть 1: Доказать, что против большей стороны лежит больший угол.

Дано: \( \triangle ABC \), \( AB > BC \).

Доказать: \( \angle C > \angle A \).

Доказательство:

1. Отложим на стороне \( AB \) отрезок \( BD \) так, чтобы \( BD = BC \).
2. \( \triangle BDC \) — равнобедренный, так как \( BD = BC \).
3. Следовательно, \( \angle BDC = \angle BCD \).
4. \( \angle BDC \) — внешний угол \( \triangle ADC \).
5. \( \angle BDC > \angle A \) (внешний угол треугольника больше любого внутреннего, не смежного с ним).
6. Так как \( \angle BCD = \angle BDC \), то \( \angle BCD > \angle A \).
7. \( \angle C = \angle BCD \).
8. Значит, \( \angle C > \angle A \).

Что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы:

1. Против меньшей стороны лежит меньший угол. (Это следует из доказанной части теоремы, если поменять местами стороны и углы).
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета. (Так как против прямого угла \( 90^{\circ} \) лежит гипотенуза, а против острых углов — катеты, а сумма углов треугольника \( 180^{\circ} \), значит, острые углы меньше \( 90^{\circ} \)).
3. Сумма двух любых сторон треугольника больше третьей стороны. (Это свойство следует из теоремы, если рассмотреть, например, \( AB + BC > AC \). Если бы \( AB + BC \le AC \), то угол \( B \) был бы \( \ge 180^{\circ} \), что невозможно для треугольника.)