Билет 11. 1. Дайте определение окружности. Дайте определение центра, радиуса, хорды, диаметра и дуги окружности. Какая прямая называется касательной к окружности. Какая окружность называется вписанной в треугольник. Какая окружность называется описанной около треугольника. Как находить центры этих окружностей? 2. Докажите свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 3. На рисунке <ABC = <DCB = 90°, AC = BD. Доказать, что AB = CD. 4. Высоты остроугольного треугольника NPT, проведенные из вершин N и P, пересекаются в точке K, угол T равен 56°. Найти угол NKP.

Решение:

1. Окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки — центра. Центр окружности — точка, от которой все точки окружности равноудалены. Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности (равен двум радиусам). Дуга окружности — часть окружности, ограниченная двумя точками. Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Вписанная в треугольник окружность — окружность, касающаяся всех сторон треугольника. Её центр — точка пересечения биссектрис. Описанная около треугольника окружность — окружность, проходящая через все вершины треугольника. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
2. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника: Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Доказательство: Проведём биссектрису к основанию. Она будет также медианой и высотой. Два образовавшихся треугольника будут равны по первому признаку равенства (две стороны и угол между ними), так как боковые стороны равны, биссектриса — общая сторона, а углы при вершине, на которые она делит угол, равны. Следовательно, углы при основании равны.
3. Дано: \( ∠ABC = ∠DCB = 90^\circ \), \( AC = BD \). Доказать: \( AB = CD \). Доказательство: Рассмотрим \( △ ABC \) и \( △ DCB \). \( ∠ABC = ∠DCB = 90^\circ \) (по условию). \( BC \) — общая сторона. По условию \( AC = BD \). По теореме Пифагора в \( △ ABC \): \( AB^2 = AC^2 - BC^2 \). В \( △ DCB \): \( CD^2 = BD^2 - BC^2 \). Так как \( AC = BD \), то \( AC^2 = BD^2 \). Следовательно, \( AC^2 - BC^2 = BD^2 - BC^2 \), что означает \( AB^2 = CD^2 \). Так как \( AB \) и \( CD \) — длины сторон, они положительны, поэтому \( AB = CD \).
4. Дано: \( △ NPT \) — остроугольный, \( NK \) и \( PK \) — высоты, \( ∠T = 56^\circ \). Найти: \( ∠NKP \). Решение: В четырёхугольнике \( NKTP \) \( ∠NKT = 90^\circ \) и \( ∠PKT = 90^\circ \) (по определению высоты). Сумма углов четырёхугольника равна $$360^\circ$$. \( ∠NKP + ∠NTP + ∠TNP + ∠TPK = 360^\circ \). В \( △ NPT \): \( ∠TNP + ∠TPN = 180^\circ - ∠T = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ \). Так как \( NK \) и \( PK \) — высоты, то \( ∠TNP = ∠(угол при вершине N) \) и \( ∠TPN = ∠(угол при вершине P) \). Сумма углов четырёхугольника \( NKTP \): \( ∠NKP + ∠T + ∠N + ∠P = 360^\circ \). \( ∠NKP + 90^\circ + 90^\circ + 56^\circ = 360^\circ \). \( ∠NKP = 360^\circ - 236^\circ = 124^\circ \).

Ответ: 1. Определения понятий, связанных с окружностью, и способов нахождения центров вписанной и описанной окружностей. 2. Доказательство равенства углов при основании равнобедренного треугольника. 3. Доказано, что AB=CD. 4. Угол NKP равен $$124^\circ$$.