Билет 11. 1. Дайте определение окружности. Дайте определение центра, радиуса, хорды, диаметра и дуги окружности. Какая прямая называется касательной к окружности. Какая окружность называется вписанной в треугольник. Какая окружность называется описанной около треугольника. Как находить центры этих окружностей? 2. Докажите свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 3. На рисунке <АBC=<DCB=90°, AC=BD. Доказать, что АВ=CD.

Билет 11.

1. Определения, связанные с окружностью:

• Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.


• Центр окружности – точка, от которой все точки окружности равноудалены.


• Радиус окружности (R) – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.


• Хорда – это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.


• Диаметр (D) – это хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр равен удвоенному радиусу (D = 2R).


• Дуга окружности – это часть окружности, ограниченная двумя точками.


• Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.


• Вписанная в треугольник окружность – это окружность, касающаяся всех сторон треугольника. Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.


• Описанная около треугольника окружность – это окружность, проходящая через все вершины треугольника. Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

2. Доказательство свойства углов при основании равнобедренного треугольника:

Свойство: Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Доказательство:

• Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Основанием является сторона AC.


• Проведем биссектрису BD к основанию AC.


• Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔCBD.


• AB = CB (по условию, так как треугольник равнобедренный).


• BD — общая сторона.


• ∠ABD = ∠CBD (так как BD — биссектриса).


• По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), ΔABD = ΔCBD.


• Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, в том числе ∠BAD = ∠BCD.

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство равенства сторон AB и CD:

На рисунке дано: ∠ABC = ∠DCB = 90°, AC = BD. Нужно доказать, что AB = CD.

• Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔDCB.


• ∠ABC = ∠DCB = 90° (дано).


• AC = DB (дано).


• BC — общая сторона для обоих треугольников.


• По второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу, или по гипотенузе и катету, если мы рассматриваем их как общие), или по теореме Пифагора, мы можем доказать равенство.


• Рассмотрим ΔABC и ΔDCB как прямоугольные.


• По теореме Пифагора для ΔABC: AB² + BC² = AC².


• По теореме Пифагора для ΔDCB: CD² + BC² = DB².


• Так как AC = DB, то AC² = DB².


• Следовательно, AB² + BC² = CD² + BC².


• Вычитая BC² из обеих частей равенства, получаем: AB² = CD².


• Из этого следует, что AB = CD (так как длины сторон положительны).

Что и требовалось доказать.