Билет № 1. 2. Сформулируйте свойства параллелограмма. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойства параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны; противоположные углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство равенства противоположных сторон и углов. Проведём диагональ AC параллелограмма ABCD. Так как \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\), то при секущей AC углы \(BAC\) и \(DCA\) равны, а углы \(BCA\) и \(DAC\) равны.

Сторона AC общая для треугольников ABC и CDA. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому соответствующие стороны равны: \(AB=CD\) и \(BC=AD\). Также равны соответствующие углы треугольников, откуда \(\angle ABC=\angle CDA\).

Соседние углы параллелограмма supplementary, поскольку являются внутренними односторонними при параллельных прямых. Поэтому \(\angle BAD=180°-\angle ABC\) и \(\angle BCD=180°-\angle CDA\). Так как \(\angle ABC=\angle CDA\), получаем \(\angle BAD=\angle BCD\). Значит, равны и обе пары противоположных углов.