3. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одно- временно, за 4 ч. За сколько часов может наполнить бас- сейн первая труба, действуя в отдельности, если она на- полняет бассейн на 6 ч дольше, чем вторая?

Пусть первая труба наполняет бассейн за $$x$$ часов, а вторая за $$y$$ часов. Тогда, за 1 час первая труба наполняет $$\frac{1}{x}$$ часть бассейна, а вторая труба наполняет $$\frac{1}{y}$$ часть бассейна. Из условия задачи известно, что обе трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 4 часа, то есть за 1 час они наполняют $$\frac{1}{4}$$ часть бассейна. Также известно, что первая труба наполняет бассейн на 6 часов дольше, чем вторая, то есть $$x = y + 6$$. Составим систему уравнений: $$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ x = y + 6 \end{cases}$$ Подставим второе уравнение в первое: $$\frac{1}{y+6} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{y + y + 6}{y(y+6)} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{2y + 6}{y^2 + 6y} = \frac{1}{4}$$ $$4(2y + 6) = y^2 + 6y$$ $$8y + 24 = y^2 + 6y$$ $$y^2 - 2y - 24 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$y^2 - 2y - 24 = 0$$. Дискриминант $$D = (-2)^2 - 4(1)(-24) = 4 + 96 = 100$$. Корни: $$y_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6$$, $$y_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2 - 10}{2} = -4$$. Так как время не может быть отрицательным, то $$y = 6$$. Тогда $$x = y + 6 = 6 + 6 = 12$$. <strong>Ответ:</strong> Первая труба может наполнить бассейн за <strong>12</strong> часов.