5. При каком значении параметра $$p$$ система уравнений $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y + x^2 = p \end{cases}$$ имеет одно решение?

Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y + x^2 = p. \end{cases}$$

Выразим $$x^2$$ из второго уравнения: $$x^2 = p - y$$.

Подставим это в первое уравнение: $$p - y + y^2 = 1$$, или $$y^2 - y + p - 1 = 0$$.

Для того чтобы система имела одно решение, квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть дискриминант должен быть равен нулю: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 1) = 1 - 4p + 4 = 5 - 4p = 0$$.

Найдем $$p$$: $$4p = 5$$, $$p = \frac{5}{4} = 1.25$$.

Если $$p = \frac{5}{4}$$, то $$y = \frac{1}{2}$$. Тогда $$x^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$, $$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$. В этом случае будет два решения.

Рассмотрим случай, когда $$x = 0$$. Тогда из первого уравнения $$y^2 = 1$$, $$y = \pm 1$$. Из второго уравнения, если $$x = 0$$, то $$y = p$$.

• Если $$y = 1$$, то $$p = 1$$. Тогда $$x^2 + y^2 = 0 + 1 = 1$$ и $$y + x^2 = 1 + 0 = 1 = p$$.
• Если $$y = -1$$, то $$p = -1$$. Тогда $$x^2 + y^2 = 0 + 1 = 1$$ и $$y + x^2 = -1 + 0 = -1 = p$$.

Ответ: Система имеет одно решение при $$p = 1$$ и $$p = -1$$.